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Levinson-Durbin算法

Levinson-Durbin算法

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  用线性方程组的常用解法(例如高斯消元法)求解式(4-22),需要的运算量数量级为p3。但若利用系数矩阵的对称性和Toeplitz性质,则可得到一些高效算法,太阳2下载Levinson-Durbin算法就是其中最著名、应用最广泛的一种,其运算量数量级为p2。这是一种按阶次进行递推的算法,即首先以AR(0)和AR(1)模型参数作为初始条件,计算AR(2)模型参数;然后根据这些参数计算AR(3)模型参数,等等,一直到计算出AR(p)模型参数为止。这样,当整个迭代计算结束后,不仅求得了所需要的p阶AR模型的参数,而且还得到了所有各低阶模型的参数。

  Levinson算法的关键是要推导出由AR(k)模型的参数计算AR(k+1)模型的参数的迭代计算公式。对式(4-22)分析可知,Yule-Walker方程的系数矩阵具有以下两个特点:

  (1)从0阶开始逐渐增加阶次,可看出,某阶方程的系数矩阵包含了前面各阶系数矩阵(作为其子矩阵)。

  (2)系数矩阵先进行列倒序再进行行倒序(或先行倒序再列倒序)后矩阵不变。

  为此,将k阶方程的系数矩阵增加一列和增加一行,成为下列形式的“扩大方程”

  利用前述系数矩阵的第二个特点,将扩大方程的行倒序,同时列也倒序,得“预备方程”

  将待求的k+1阶Yule-Walker方程的解表示成“扩大方程”解和“预备方程”解的线性组合形式

  对于AR(p)模型,递推计算直到k+1=p为止。将模型参数代入式(1-135),即可计算功率谱估计值:

  如果自相关函数值不是已知的,而只知道N个观测数据xN(n),n=0,1,…,N-1,首先要用式(4-5)由xN(n)估计出自相关函数值,得

  为了书写简单,今后将k阶AR模型系数或k阶线性预测系数ak,i写成aki,而对于k+1阶来说,为了下标明确,仍写成ak+1,i。

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